Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延长线于点F．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若AC=10，cosA=$\frac{2}{5}$，求CG的长．

Answer 1

分析 （1）首先判断出OD∥AC，推得∠ODG=∠DGC，然后根据DG⊥AC，可得∠DGC=90°，∠ODG=90°，推得OD⊥FG，即可判断出直线FG是⊙O的切线．
（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△ODF∽△AGF，再根据cosA=$\frac{2}{5}$，可得cos∠DOF=$\frac{2}{5}$；然后求出OF、AF的值，即可求出AG、CG的值各是多少．

解答 （1）证明：如图1，连接OD，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠ODG=∠DGC，
∵DG⊥AC，
∴∠DGC=90°，
∴∠ODG=90°，
∴OD⊥FG，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线FG是⊙O的切线．

（2）解：如图2，
∵AB=AC=10，AB是⊙O的直径，
∴OA=OD=10÷2=5，
由（1），可得
OD⊥FG，OD∥AC，
∴∠ODF=90°，∠DOF=∠A，
在△ODF和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOF=∠A}\\{∠F=∠F}\end{array}\right.$
∴△ODF∽△AGF，
∴$\frac{OD}{AG}=\frac{OF}{AF}$，
∵cosA=$\frac{2}{5}$，
∴cos∠DOF=$\frac{2}{5}$，
∴$OF=\frac{OD}{cos∠DOF}$=$\frac{5}{\frac{2}{5}}=\frac{25}{2}$，
∴AF=AO+OF=5$+\frac{25}{2}=\frac{35}{2}$，
∴$\frac{5}{AG}=\frac{\frac{25}{2}}{\frac{35}{2}}$，
解得AG=7，
∴CG=AC-AG=10-7=3，
即CG的长是3．

点评 （1）此题主要考查了切线的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．