Question

20．探究函数y=x+$\frac{9}{x}$的图象与性质
（1）函数y=x+$\frac{9}{x}$的自变量x的取值范围是x≠0；
（2）下列四个函数图象中，函数y=x+$\frac{9}{x}$的图象大致是C；
（3）对于函数y=x+$\frac{9}{x}$，求当x＞0时，y的取值范围．
请将下面求解此问题的过程补充完整：
解：∵x＞0，
∴y=x+$\frac{9}{x}$=（$\sqrt{x}$）²+（$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²=（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²+6．
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²≥0，
∴y≥6
（4）若函数y=$\frac{{{x^2}-4x+9}}{x}$，则y的取值范围是y≤-10或y≧2．

Answer 1

分析 （1）由分母不为0可得；
（2）由x≠0排除A，由y=$\frac{{x}^{2}+9}{x}$且x²+9＞0知当x＜0时y＜0；当x＞0时y＞0可得答案；
（3）利用二次函数的配方法求解可得；
（4）分x＞0和x＜0仿照（3）中方法求解可得．

解答 解：（1）函数y=x+$\frac{9}{x}$的自变量x的取值范围是x≠0，
故答案为：x≠0．

（2）∵x≠0，
∴函数图象与y轴无交点，A选项排除；
∵y=$\frac{{x}^{2}+9}{x}$，且x²+9＞0，
∴当x＜0时，y＜0；当x＞0时，y＞0；
∴符合题意得函数图象为C选项；
故选：C．

（3）∵x＞0，
∴y=x+$\frac{9}{x}$=（$\sqrt{x}$）²+（$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²=（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²+6．
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²≥0，
∴y≥6，
故答案为：6，≥6；

（4）$y=\frac{{{x^2}-4x+9}}{x}$=$x+\frac{9}{x}-4$，
当x＞0时，∵$x+\frac{9}{x}≥6$，
∴y≧2
当x＜0时，-x＞0，-$\frac{9}{x}＞0$，-x-$\frac{9}{x}$=${（\sqrt{-x}）^2}+{（\sqrt{-\frac{9}{x}}）^2}$，
由（3）得，-x-$\frac{9}{x}$≧6，
所以$x+\frac{9}{x}≤-6$，
所以y≤-10，
y的取值范围是y≤-10或y≧2，
故答案为：y≤-10或y≧2．

点评 本题主要考查反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想写出函数的性质及二次函数的最值求法是解题的关键．