Question

3．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AC，交BC于点E，将线段OD绕点O逆时针旋转90°得OF，连结FD，FE，DE，已知AB=6，BC=8，则S_△EFD=$\frac{149}{8}$．

Answer 1

分析 如图，作EM⊥BD于M，EN⊥EO于N．由△COE∽△CBA，得$\frac{CE}{AC}$=$\frac{CO}{CB}$，求出CE、BE，由△BME∽△BCD，得$\frac{BM}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{EM}{CD}$，求出EM、EN，根据S_△EFD=S_△EOF+S_△EOD+S_△FOD即可解决问题．

解答 解：如图，作EM⊥BD于M，EN⊥EO于N．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，BC=AD=8，OA=OC=OB=OD，∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵OE⊥AC，
∴∠EOC=∠ABC=90°，∵∠ECO=∠ACB，
∴△COE∽△CBA，
∴$\frac{CE}{AC}$=$\frac{CO}{CB}$，
∴$\frac{CE}{10}$=$\frac{5}{8}$，
∴CE=$\frac{25}{4}$，BE=BC-CE=$\frac{7}{4}$，
∵∠EBM=∠CBD，∠EMB=∠BCD=90°，
∴△BME∽△BCD，
∴$\frac{BM}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{EM}{CD}$，
∴EM=$\frac{21}{20}$，BM=$\frac{7}{5}$，
∴S_△EFD=S_△EOF+S_△EOD+S_△FOD=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{21}{20}$+$\frac{1}{2}$×5×$\frac{7}{5}$+$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{149}{8}$．
故答案为$\frac{149}{8}$．

点评 本题考查矩形的性质．旋转变换三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用分割法求三角形面积，属于中考常考题型．