Question

19．我们知道对于x轴上的任意两点A（x₁，0），B（x₂，0），有AB=|x₁-x₂|，而对于平面直角坐标系中的任意两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），我们把|x₁-x₂|+|y₁-y₂|称为P_l，P₂两点间的直角距离，记作d（P₁，P₂），即d（P₁，P₂）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为（1，3），则d（O，P）=4；
（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；
（3）试求点M（2，3）到直线y=x+2的最小直角距离．

Answer 1

分析 （1）由P₀与原点O的坐标，利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）利用题中的新定义列出x与y的关系式，画出相应的图象即可；
（3）根据新的运算规则知d（M，Q）=|x-2|+|y-3|=|x-2|+|x+2-3|=|x-2|+|x-1|，然后由绝对值与数轴的关系可知，|x-2|+|x-1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和1所对应的点的距离之和，其最小值为1．

解答 解：（1）d（O，P）=|0-1|+|0-3|=4；
故答案为：4；

（2）∵O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P），
∴|0-x|+|0-y|=|x|+|y|=2，
所有符合条件的点P组成的图形如图所示；

（3）∵d=|x-2|+|y-3|=|x-2|+|x+2-3|
=|x-2|+|x-1|
∴x可取一切实数，|x-2|+|x-1|表示数轴上实数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，其最小值为1．
∴点M（2，3）到直线y=x+2的直角距离为1．

点评 此题主要考查了一次函数图象，涉及的知识有：绝对值的代数意义，弄清题中的新定义是解本题的关键．