探究问题:(1)方法感悟:如图1.在正方形ABCD中.点E.F分别为DC.BC边上的点.且满足∠EAF=45°.连接EF.求证:DE+BF=EF．感悟解题方法.并完成下列填空:将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.此时AD与AB重合.由旋转可得:AB=AD.BG=DE.∠1=∠2.∠ABG=∠D=90°.∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°.因此.点G.B.F在同一条直线上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．探究问题：
（1）方法感悟：
如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AD与AB重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G、B、F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠EAF．
又　AG=AE，AF=AF，∴△GAF≌△EAF．
∴GF=EF，故DE+BF=EF；
（2）方法迁移：
如图2，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E、F分别为DC、BC边上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB．试猜想DE、BF、EF之间有何数量关系，并证明你的猜想；
（3）问题拓展：
如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，E、F分别为DC、BC上的点，满足∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

分析（1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；
（2）作出∠4=∠1，利用已知得出∠GAF=∠FAE，再证明△AGF≌△AEF，即可得出答案；
（3）根据角之间的关系，只要满足∠B+∠D=180°时，就可以得出三角形全等，即可得出答案．

解答解：（1）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AD与AB重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G、B、F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠EAF，
又∵AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴GF=EF，
故DE+BF=EF；
故答案为：EAF，△EAF，GF；

（2）EF=DE+BF，理由如下：
如图②，延长CF，作∠4=∠1，

∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠1+∠2=∠3+∠5，
∠2+∠3=∠1+∠5，
∵∠4=∠1，
∴∠2+∠3=∠4+∠5，
∴∠GAF=∠FAE，
在△AGB和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠4=∠1}\\{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△AED（ASA），
∴AG=AE，BG=DE，
在△AGF和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠GAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF=EF，
∴DE+BF=EF；

（3）当∠B与∠D满足∠B+∠D=180°时，可使得DE+BF=EF．
如图③，延长CF，作∠2=∠1，

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABG=180°，
∴∠D=∠ABG，
在△AGB和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{AB=AD}\\{∠D=∠ABG}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△AED（ASA），
∴BG=DE，AG=AE，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AGF和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠GAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF=EF，
DE+BF=EF．