Question

已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax²+bx的图象经过点（1，-3）和点（-1，5）；
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据顶点坐标公式，可得顶点坐标，根据图象的平移，可得M点的坐标；
（3）根据角平分线的性质，可得全等三角形，根据全等三角形的性质，可得方程组，根据解方程组，可得答案．

解答：解：（1）由二次函数y=ax²+bx的图象经过点（1，-3）和点（-1，5），得

a+b=-3 a-b=5

，解得

a=1 b=-4

．
二次函数的解析式y=x²-4x；
（2）y=x²-4x的顶点M坐标（2，-4），
这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，
顶点M坐标向上平移m，即M（2，m-4）；
（3）由待定系数法，得CP的解析式为y=

3-m

2

x+m，
如图：
作MG⊥PC于G，设G（a，

3-m

2

a+m）．
由角平分线上的点到角两边的距离相等，
DM=MG．
在Rt△DCM和Rt△GCM中

DM=GM CM=CM

，

Rt△DCM≌Rt△GCM（HL）．
CG=DC=4，MG=DM=2，

a2+( 3-m 2 a)2=42 (2-a)2+(m-4- 3-m 2 a-m)2=22

，
化简，得8m=36，
解得m=

9

2

．

点评：本题考察了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）利用了二次函数顶点坐标公式，图象的平移方法；（3）利用了角平分线的性质，全等三角形的性质．