Question

已知：如图，二次函数y=-mx²+4m的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内．
（1）求二次函数的表达式；
（2）设点A的坐标为（x，y）（x＞0，y＞0），试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征

专题：压轴题

分析：（1）由y=-mx²+4m的顶点坐标为（0，4m），结合已知即可求出m的值，从而确定二次函数解析式；
（2）设出点A的坐标，由点A在抛物线上，表示出矩形ABCD的周长，即为矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数表达式．

解答：解：（1）∵y=-mx²+4m
∴抛物线的顶点坐标为（0，4m）．
∴4m=2，即m=

1

2

．
∴二次函数的表达式为y=-

1

2

x2+2．

（2）∵点A在抛物线上，
∴A(x，-

1

2

x2+2)．
∴矩形ABCD的周长P=2（-

1

2

x2+2）+4x．
令y=0，则-

1

2

x2+2=0，
∴x=±2．
∴抛物线与x轴的两个交点是（-2，0），（2，0）．
∴关于x的函数P的自变量的取值范围0＜x＜2．

点评：本题考查的是二次函数与矩形的综合应用，解决问题的关键是要熟练二次函数的性质及二次函数解析式的表达形式．