Question

如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；
（3）如图2，连接OD交AC于点G，若

CG

GA

=

3

4

，求sin∠E的值．

Answer 1

考点：圆的综合题,平行线的性质,含30度角的直角三角形,切线的性质,锐角三角函数的定义

专题：几何综合题

分析：（1）连结OC，如图1，根据切线的性质得OC⊥DE，而AD⊥DE，根据平行线的性质得OC∥AD，所以∠2=∠3，加上∠1=∠3，则∠1=∠2，所以AC平分∠DAB；
（2）如图1，由B为OE的中点，AB为直径得到OB=BE=2，OC=2，在Rt△OCE中，由于OE=2OC，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OEC=30°，则∠COE=60°，由CF⊥AB得∠OFC=90°，所以∠OCF=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OF=

1

2

OC=1，CF=

3

OF=

3

；
（3）连结OC，如图2，先证明△OCG∽△DAG，利用相似的性质得

OC

AD

=

CG

AG

=

3

4

，再证明△ECO∽△EDA，利用相似比得到

EO

EA

=

OC

AD

=

3

4

，设⊙O的半径为R，OE=x，代入求得OE=3R；最后在Rt△OCE中，根据正弦的定义求解．

解答：（1）证明：连结OC，如图1，
∵DE与⊙O切于点C，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴OC∥AD，
∴∠2=∠3，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
即AC平分∠DAB；

（2）解：如图1，
∵直径AB=4，B为OE的中点，
∴OB=BE=2，OC=2，
在Rt△OCE中，OE=2OC，
∴∠OEC=30°，
∴∠COE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠OFC=90°，
∴∠OCF=30°，
∴OF=

1

2

OC=1，
CF=

3

OF=

3

；

（3）解：连结OC，如图2，
∵OC∥AD，
∴△OCG∽△DAG，
∴

OC

DA

=

CG

AG

=

3

4

，
∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴

EO

EA

=

OC

AD

=

3

4

，
设⊙O的半径为R，OE=x，
∴

x

x+R

=

3

4

，
解得OE=3R，
在Rt△OCE中，sin∠E=

OC

OE

=

R

3R

=

1

3

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、平行线的性质和锐角三角函数的定义；会根据含30度的直角三角形三边的关系和相似比进行几何计算．