Question

如图，在△ABC中，AC=BC，AB是⊙C的切线，切点为D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF=

1

2

AC．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若AC=8，求△ABF的面积．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：几何综合题

分析：（1）连接DC，根据AB是⊙C的切线，所以CD⊥AB，根据CD=

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2

AC，得出∠A=30°，因为AC=BC，从而求得∠ACB的度数．
（2）通过△ACD≌△BCF求得∠AFB=90°，已知AC=8，根据已知求得AF=12，由于∠A=30°得出BF=

1

2

AB，然后依据勾股定理求得BF的长，即可求得三角形的面积．

解答：解：（1）连接CD，

∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵CF=

1

2

AC，CF=CE，
∴AE=CE，
∴ED=

1

2

AC=EC，
∴ED=EC=CD，
∴∠ECD=60°，
∴∠A=30°，
∵AC=BC，
∴∠ACB=120°．

（2）∵∠A=30°，AC=BC，
∴∠ABC=30°，
∴∠BCF=60°，
在△ACD与△BCF中

AC=BC ∠ACD=∠BCF=60° CD=CF

∴△ACD≌△BCF（SAS）
∴∠ADC=∠BFC，
∵CD⊥AB，
∴CF⊥BF，
∵AC=8，CF=

1

2

AC．
∴CF=4，
∴AF=12，
∵∠AFB=90°，∠A=30°，
∴BF=

1

2

AB，
设BF=x，则AB=2x，
∵AF²+BF²=AB²，
∴（2x）²-x²=12²
解得：x=4

3

即BF=4

3

∴△ABF的面积=

1

2

AF•BF=

1

2

×12×4

3

=24

3

，

点评：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理的应用等，构建全等三角形是本题的关键．