Question

5．在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（1，a）、B（b，1），且实数a、b满足$\sqrt{a-3}$+$\sqrt{-（4-b）^{2}}$=0．
（1）求a，b的值；
（2）平移线段AB至线段PQ处（A的对应点为P），使得点P、Q正好都在坐标轴上，求点P，Q的坐标；
（3）点C（3，c），c≠0，D是x轴负半轴上任一点，连接OC，OM平分∠DOC，ON⊥OM，（ON在x轴上方），CE⊥CO，交x轴正半轴于点E，当c的值发生变化时，探究∠NOD与∠OEC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由非负数的性质即可求出a，b的值；
（2）根据平移的性质与坐标轴上点的坐标特征，分两种情况进行讨论：①P在y轴上，Q在x轴上；②P在x轴上，Q在y轴上；
（3）由角平分线定义可设∠DOM=∠MOC=α，根据垂直的定义得出∠NOD=90°-α，由平角的定义求出∠EOC=180°-2α，根据直角三角形两锐角互余得到∠OEC=90°-∠EOC=2α-90°，于是得出2∠NOD+∠OEC=90°．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-3}$+$\sqrt{-（4-b）^{2}}$=0，
∴a-3=0，4-b=0，
∴a=3，b=4；

（2）∵a=3，b=4，
∴A（1，3）、B（4，1），
∵x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0，
∴如果平移线段AB至线段PQ处（A的对应点为P），使得点P、Q正好都在坐标轴上，可分两种情况：
①P在y轴上，Q在x轴上，
将线段AB先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，此时P（0，2），Q（3，0）；
②P在x轴上，Q在y轴上，
将线段AB先向下平移3个单位，再向左平移4个单位，此时P（-3，0），Q（0，-2）；

（3）2∠NOD+∠OEC=90°．理由如下：
∵OM平分∠DOC，
∴∠DOM=∠MOC，设∠DOM=∠MOC=α．
∵ON⊥OM，
∴∠NOD=90°-α，
∴∠EOC=180°-2α，
∵CE⊥CO，
∴∠OCE=90°，
∴∠OEC=90°-∠EOC=90°-（180°-2α）=2α-90°，
∴2∠NOD+∠OEC=2（90°-α）+（2α-90°）=90°．

点评 本题考查了作图-平移变换，非负数的性质，平移的性质，坐标轴上点的坐标特征，角平分线、垂直、平角的定义，直角三角形的性质，利用数形结合及分类讨论是解题的关键．