Question

16．如图（1），线段AB与射线OC相交于点O，且∠BOC=60°，AO=3，OB=1，动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，在射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=3秒时，则OP=3，S_△APO：S_△ABP=3：4；
（2）当△OPB是直角三角形时，求t的值；
（3）如图（2），当AP=AB，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，连接QP，QO、AP交于点F，试证明△APQ∽△BPO．

Answer 1

分析 （1）由动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，在射线OC做匀速运动，即可得当t=3秒时，则OP=3，又由△APO与△ABP等高，可得其面积比等于其对应底的比；
（2）由∠BOP=60°，可得当△OPB是直角三角形时，∠BOP=90°或∠BPO=90°，然后利用含30°的直角三角形的性质求解即可求得答案；
（3）由AQ∥BP，又由∠QOP=∠B，易证得△QFA∽△PFO，即可得$\frac{FQ}{FA}=\frac{FP}{FO}$，又由∠PFQ=∠OFA，证得△PFQ∽△OFA，继而证得结论．

解答 解：（1）∵动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，在射线OC做匀速运动，
∴t=3时，OP=3；
设P到AB的距离为h，则S_△APO=$\frac{1}{2}$OA•h，S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•h，
∵AO=3，OB=1，
∴AB=AO+OB=4，
∴S_△APO：S_△ABP=OA：AB=3：4；
故答案为：3，3：4；

（2）①∵∠BOP=60°，
∴∠BOP不为直角；
②当∠OBP=90°时，如图（a）所示，
∵∠BOP=60°，
∴∠OPB=30°，
∴OP=2OB=2，
∴t=2s；
③当∠OPB=90°时，如图（b）所示，
∵∠BOP=60°，
∴∠OBP=30°，
∴OB=2OP，
∴2t=1，
∴t=$\frac{1}{2}$s，
综上，当△OPB为直角三角形时，t=2s或$\frac{1}{2}$s；

（3）∵AQ∥BP，
∴∠QAP=∠APB，
∵AP=AB，
∴∠APB=∠B，
∴∠QAP=∠B，
又∵∠QOP=∠B，
∴∠QAP=∠QOP，
又∵∠QFA=∠PFO，
∴△QFA∽△PFO，
∴$\frac{FQ}{FP}=\frac{FA}{FO}$，
即$\frac{FQ}{FA}=\frac{FP}{FO}$，
又∵∠PFQ=∠OFA，
∴△PFQ∽△OFA，
∴∠QPA=∠QOA．
∵∠AOC=∠OPB+∠B=∠QOA+∠QOP，∠B=∠QOP，
∴∠QOA=∠OPB，
∴∠OPB=∠QPA．
∴△APQ∽△BPO．

点评 此题属于相似三角形的综合题．考查了相似三角形的判定与性质、含30°的直角三角形的性质以及动点问题．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．