Question

12．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，设∠ADE=α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积（　　）

• A． 由小变大
• B． 由大变小
• C． 不变
• D． 先由小变大，后由大变小

Answer 1

分析 作辅助线，根据直角三角形斜边中线是斜边的一半可知：由于扇形DEF的圆心角为90°，半径为CD，所以扇形DEF的面积为定值，证明∠GDM≌△HDN，则S_△GDM=S_△HDN，则S_{四边形CGDH}=S_{正方形CMDN}=CM²，则四边形CGDH的面积为定值，所以当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积不变．

解答 解：连接CD，
在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD=CD，CD平分∠ACB，
过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N，
∵CD平分∠ACB，
∴DM=DN，
∵∠DMC=∠ACB=∠DNC=90°，
∴四边形CMDN为正方形，
∴∠MDN=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠GDM=∠NDH，
∴∠GDM≌△HDN，
∴S_△GDM=S_△HDN，
∴S_{四边形CGDH}=S_{正方形CMDN}=CM²=（$\frac{1}{2}$AC）²=$\frac{1}{4}$AC²，
∴四边形CGDH的面积为定值，
∴S_阴影=S_扇形DEF-S_{四边形CGDH}，
∵扇形DEF的圆心角为90°，半径为CD，
∴扇形DEF的面积为定值，
∴当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积不变．
故选C．

点评 本题考查了扇形的面积、等腰直角三角形的性质、正方形的性质和判定、三角形全等的性质和判定，明确利用割补法求不规则图形的面积的方法．