Question

16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=$\sqrt{3}$，△A′B′C由△ABC绕C点顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，恰好A，B′，A′在同一条直线上，A′D∥BC交AC的延长线于点D，则A′D的长为（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 先根据，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=$\sqrt{3}$，求得A′C=AC=3，再根据旋转的性质，求得∠A'CD=60°，最后在Rt△A'CD中，根据勾股定理即可得到A′D的长．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∵BC=$\sqrt{3}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=3，
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，
∴A′C=AC=3，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，
∴△CAA′为等腰三角形，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∵A、B′、A′在同一条直线上，
∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，
∴∠B′CA=60°-30°=30°，
∴∠A'CD=60°，
又∵A′D∥BC，
∴∠D=∠BCD=90°，
∴Rt△A'CD中，CD=$\frac{1}{2}$A'C=$\frac{3}{2}$，
∴A'D=$\sqrt{A'{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
故选：C．

点评 本题考查了旋转的性质，掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是本题的关键．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．