Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知是等边三角形，点的坐标是(0，4)，点在第一象限，点是轴上的一个动点，连接，并把绕点按逆时针方向旋转，使边与重合．连接，，得．

(1)当时，求的长；

(2)在点运动过程中，依照条件所形成的面积为．

①当时，求与之间的函数关系式；

②当t≤0时，要使，请直接写出所有符合条件的点的坐标．

Answer 1

【答案】(1)DP=；(2)①；②P(，0)，P(，0)，P(，0).

【解析】

（1）由△ABD由△AOP旋转得到，利用旋转的性质得到两三角形全等，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到AP=AD，∠DAB=∠PAO，进而得到三角形ADP为等边三角形，根据A点坐标及t的值利用勾股定理求出AP的长即可得答案；（2）①过点，分别作轴的垂线，垂足为，过点作轴的平行线，分别交轴于点，交于点，由等边三角形的性质可得，根据∠ABD=90°可求出∠DBG=60°，利用∠DBG的正弦函数可求出DG的长，即可得DH的长，利用三角形面积公式即可得答案；②分两种情况：当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用BD的长表示出BG，进而求出GF的长，然后利用面积公式列方程求出t值即可；当P在x轴负半轴；D在x轴下方时，即t≤时，过B作BE⊥y轴，过D作DH⊥x轴，交BE延长线于G，在Rt△BDG中，用BD的长表示出DG，进而得出DH的长，根据面积公式列方程求出t值即可，综上即可得答案.

(1)∵，

∴，

∵，

∴，

∵是由旋转得到，

∴≌，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∵是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∴；

(2)①当时，如图，，

过点，分别作轴的垂线，垂足为，过点作轴的平行线，分别交轴于点，交于点，

∵为等边三角形，轴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

②如图，当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即＜t≤0时，过点，分别作轴的垂线，垂足为，过点作轴的平行线，分别交轴于点，过D作DG⊥BF，交BF于点，

∵∠ABE=30°，∠ABD=90°，BF⊥BE，

∴∠DBG=30°，

∵BD=OP=-t，

∴BG=BDcos30°=-t，

∵BF=OE=2，

∴DH=GF=BF-BG=2+t，

∴S= OPDH=×（-t）×(2+t)=，

解得：t1=，t2=，

∴P点坐标为（，0）或（，0）.

当D在x轴下方时，即t≤时，过B作BE⊥y轴，过D作DH⊥x轴，交BE延长线于G，

∵∠ABE=30°，∠ABD=90°，DG⊥BG，

∴∠BDG=30°，

∵BD=OP=-t,

∴DG=BDcos30°=-t，

∵GH=OE=2，

∴DH=DG-GH=-t-2，

∴S= OPDH=×（-t）×(-t-2)=，

解得：t1=，t2=(舍去)，

∴P点坐标为（，0）.

综上所述：符合条件的点的坐标为（，0）或（，0）或（，0）.