Question

19．如图，在?ABCD中，点E在BC边上，AE=AB，点F在DE上，∠DAF=∠CDE．
（1）△AEF∽△DEA，并证明：
（2）如果AB=6，DF=5，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由AB=AE得到∠B=∠1，再利用平行四边形的性质得AD∥BC，∠B=∠ADC，所以∠1=∠DAE，则∠DAE=∠ADC，于是可得到∠2=∠3，然后根据相似三角形的判定方法可判定△AEF∽△DEA；
（2）利用△AEF∽△DEA得到AE：EF=ED：AE，则可得到关于EF的一元二次方程，然后解方程即可．

解答 解：（1）△AEF∽△DEA．理由如下：
∵AB=AE，
∴∠B=∠1，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠ADC，
∴∠1=∠DAE，
∴∠DAE=∠ADC，
即∠2+∠DAF=∠3+∠CDE，
∵∠DAF=∠CDE，
∴∠2=∠3，
而∠AEF=∠DEA，
∴△AEF∽△DEA；
故答案为△DEA；
（2）∵AB=6，
∴AE=6，
∵△AEF∽△DEA，
∴AE：EF=ED：AE，即6：EF=（EF+5）：6，
整理得EF²+5EF-36=0，解得EF=-9（舍去）或EF=4，
即EF的长为4．

点评 本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要利用相似进行几何计算．