Question

11．如图，将等腰Rt△GAE绕点A顺时针旋转60°得到△DAB，其中∠GAE=∠DAB=90°，GE与AD交于点M，过点D作DC∥AB交AE于点C．已知AF平分∠GAM，EH⊥AE交DC于点H，连接FH交DM于点N，若AC=2$\sqrt{3}$，则MN的值为9-5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作MK⊥AC，FT⊥AD垂足分别为K，T，证明△AGF≌△AEM，△AFT≌△AMK得到AF=AM，FT=MK=EK=DM，在RT△ADC中根据已知条件求出CD，AD，设MK=EK=x，根据AE=AK+EK列出方程求出x，在RT△HEC中求出HC，进而求出DH，再根据$\frac{DH}{FT}=\frac{DN}{NT}$，求出DN，利用MN=AD-AM-DN求出MN．

解答 解：作MK⊥AC，FT⊥AD垂足分别为K，T，
∵Rt△GAE绕点A顺时针旋转60°得到△DAB，
∴∠GAD=∠CAB=60°，
∵∠GAE=∠DAB=90°，AG=AE=AD=AB，
∴∠DAC=30°，∠G=∠AEG=45°，
∵AF平分∠GAD，
∴∠GAF=∠FAT=30°，
在△AGF和△AEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠AEM}\\{AG=AE}\\{∠GAF=∠MAE}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△AEM，
∴AF=AM
在△AFT和△AMK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAT=∠MAK}\\{∠FTA=∠MKA}\\{AF=AM}\end{array}\right.$，
∴△AFT≌△AMK，
∴AT=AK，
∵AD=AE，
∴DT=EK，
∵∠KME=∠KEM=45°，
∴MK=EK=DT=FT，
设MK=KE=x，则AK=$\sqrt{3}$x，
∵$AC=2\sqrt{3}$，∠DAC=30°，
∴$DC=\sqrt{3}$，AD=3，∴AE=AD=3，
∴x+$\sqrt{3}$x=3
x=$\frac{3（\sqrt{3}-1）}{2}$，
∴DT=FT=MK=EK=$\frac{3（\sqrt{3}-1）}{2}$，AM=3（$\sqrt{3}$-1），EC=2$\sqrt{3}$-3，
在RT△HEC中，∵∠C=60°，EC=2$\sqrt{3}$-3，
∴HC=2EC=4$\sqrt{3}$-6，DH=DC-HC=$\sqrt{3}$-（4$\sqrt{3}$-6）=6-3$\sqrt{3}$，
设DN=y，∵DH∥FT，
∴$\frac{DH}{FT}=\frac{DN}{NT}$，
∴$\frac{6-3\sqrt{3}}{\frac{3（\sqrt{3}-1）}{2}}=\frac{y}{\frac{3（\sqrt{3}-1）}{2}-y}$，
∴y=2$\sqrt{3}$-3，
∴MN=AD-AM-DN=3-3（$\sqrt{3}$-1）-（2$\sqrt{3}$-3）=9-5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查旋转性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行成比例等知识，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键．