Question

13．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，已知∠BAC=30°，BC=1，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．
（1）线段EF是多少？答：$\sqrt{3}$，请写出求解过程；
（2）请判断四边形ADFE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形中30°所对边与斜边的关系结合勾股定理得出答案；
（2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的判定方法得出答案．

解答 解：（1）∵∠BAC=30°，BC=1，
∴AB=AE=BE=2，AC=$\sqrt{3}$，
∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AF=BF=1，
∴EF=$\sqrt{3}$；
故答案为：$\sqrt{3}$．

（2）四边形ADFE是平行四边形，
理由：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=BD=AB=2，AE=CE=AC=$\sqrt{3}$，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB=∠EFA=90°，EF=AD=$\sqrt{3}$，
∴DA∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定等知识，得出AC，EF的长是解题关键．