Question

如果ρ与ρ+2都是大于3的质数，那么请证明：6是ρ+1的约数．

Answer 1

考点：质数与合数,约数与倍数

专题：分类讨论

分析：由于ρ是大于3的质数，因此可分ρ＜6和ρ＞6两种情况讨论．当ρ＜6时，显然ρ=5．则6是ρ+1的约数；当ρ＞6时，由于ρ是大于3的质数，因此ρ是奇数，故有三种可能：ρ=6n+1或ρ=6n+3或ρ=6n+5，其中n为正整数．运用反证法可排除ρ=6n+1及ρ=6n+3两种情况，只有ρ=6n+5，此时ρ+1=6（n+1），则6是ρ+1的约数．

解答：解：（1）当ρ＜6时，
∵ρ与ρ+2都是大于3的质数，
∴ρ=5．
∴ρ+1=6．
∴6是ρ+1的约数．
（2）当ρ＞6时，
∵ρ是大于3的质数，
∴ρ是奇数．
∴ρ=6n+1或ρ=6n+3或ρ=6n+5，其中n为正整数．
①若ρ=6n+1，其中n为正整数，
则ρ+2=6n+3=3（2n+1）是3的倍数．
与条件“ρ+2是大于3的质数”矛盾，
故ρ≠6n+1．
②若ρ=6n+3，其中n为正整数，
则ρ=6n+3=3（2n+1）是3的倍数．
与条件“ρ是大于3的质数”矛盾，
故ρ≠6n+3．
所以ρ=6n+5，其中n为正整数．
此时ρ+1=6n+6=6（n+1），
则6是ρ+1的约数．
综上所述：如果ρ与ρ+2都是大于3的质数，那么6是ρ+1的约数．

点评：本题考查了质数、约数等知识，考查了分类讨论、排除法、反证法等思想方法，注重对能力的考查，是一道好题．