Question

已知：如图，点D是以AB为直径的圆O上任意一点，且不与点A、B重合，点C是弧BD的中点，过C作CE∥AB，交AD或其延长线于E，连结B交AC于G．
（1）求证：AE=CE；
（2）若过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M．试说明：MC与⊙O相切；
（3）若CE=7，CD=6，求CG的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）由于弧CB=弧CD，根据圆周角定理得∠CAB=∠CAD；再根据平行线的性质由CE∥AB得∠ACE=∠CAB，则∠ACE=∠CAD，于是根据等腰三角形的判定定理有
AE=CE；
（2）连接OC，如图，由于∠OAC=∠OCA，∠OAC=∠CAD，则∠OCA=∠CAD，根据平行线的判定得到OC∥AD，而CM⊥AD，于是根据平行线的性质得CM⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到MC与⊙O相切；
（3）由弧CB=弧CD得到CB=CD=6，再由OC∥AE，CE∥OA可判断四边形OAEC为平行四边形，根据平行四边形的性质得OA=CE=7，则AB=14，然后根据圆周角定理由
AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，则根据勾股定理可计算出AC=4

10

，接着证明△GCE∽△GAB，利用相似比得到

CG

AG

=

1

2

，于是可利用CG=

1

3

AC进行计算．．

解答：（1）证明：∵点C是弧BD的中点，
∴弧CB=弧CD，
∴∠CAB=∠CAD，
∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠CAB，
∴∠ACE=∠CAD，
∴AE=CE；

（2）解：连接OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
而∠OAC=∠CAD，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD，
∵CM⊥AD，
∴CM⊥OC，
∴MC与⊙O相切；

（3）解：∵弧CB=弧CD，
∴CB=CD=6，
∵OC∥AE，CE∥OA，
∴四边形OAEC为平行四边形，
∴OA=CE=7，
∴AB=14，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，BC=6，AB=14，
∴AC=

AB2-BC2

=4

10

，
∵CE∥AB，
∴△GCE∽△GAB，
∴

CG

AG

=

CE

AB

=

7

14

=

1

2

，
∴CG=

1

3

AC=

4 10

3

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握平行线的判定与性质、等腰三角形的判定、圆周角定理和切线的判定定理；会运用勾股定理和相似比进行几何计算．