Question

20．阅读：对于函数y=ax²+bx+c（a≠0），当t₁≤x≤t₂时，求y的最值时，主要取决于对称轴x=-$\frac{b}{2a}$是否在t₁≤x≤t₂的范围和a的正负：①当对称轴x=-$\frac{b}{2a}$在t₁≤x≤t₂之内且a＞0时，则x=-$\frac{b}{2a}$时y有最小值，x=t₁或x=t₂时y有最大值；②当对称轴x=-$\frac{b}{2a}$在t₁≤x≤t₂之内且a＜0时，则x=-$\frac{b}{2a}$时y有最大值，x=t₁或x=t₂时y有最小值；③当对称轴x=-$\frac{b}{2a}$不在t₁≤x≤t₂之内，则函数在x=t₁或x=t₂时y有最值．
解决问题：
设二次函数y₁=a（x-2）²+c（a≠0）的图象与y轴的交点为（0，1），且2a+c=0．
（1）求a、c的值；
（2）当-2≤x≤1时，直接写出函数的最大值和最小值；
（3）对于任意实数k，规定：当-2≤x≤1时，关于x的函数y₂=y₁-kx的最小值称为k的“特别值”，记作g（k），求g（k）的解析式；
（4）在（3）的条件下，当“特别值”g（k）=1时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）将（0，1）代入得：4a+c=1，然后将4a+c=1与2a+c=0联立可求得a、c的值；
（2）将a=$\frac{1}{2}$，c=-1代入得y₁=$\frac{1}{2}$（x-2）²-1，抛物线的对称轴为x=2，然后在-2≤x≤1范围内，当x=-2时，y₁有大值，当x=1时，y₁有最小值；
（3）由题意可知y₂=$\frac{1}{2}$x²-（k+2）x+1，抛物线的对称轴为x=k+2，然后分为k+2＜-2、-2≤k+2≤1、k+2＞1三种情况分别求得y₂的最小值即可；
（4）由g（k）=1列出关于k的方程，从而可求得k的值．

解答 解：（1）将（0，1）代入得：4a+c=1．
又∵2a+c=0，
∴2a=1，解得：a=$\frac{1}{2}$．
∴c=-2a=-2×$\frac{1}{2}$=-1．
（2）∵a=$\frac{1}{2}$，c=-1，
∴y₁=$\frac{1}{2}$（x-2）²-1．
∴x=-$\frac{b}{2a}$=2．
∵x=2不在-2≤x≤1之内，
∴当x=-2时，y₁有最大值，最大值为=$\frac{1}{2}$×16-1=7，当x=1时，y₁有最小值，最小值为=$\frac{1}{2}$×1-1=-$\frac{1}{2}$．
（3）∵y₂=y₁-kx，
∴y₂=$\frac{1}{2}$（x-2）²-1=-kx=$\frac{1}{2}$x²-（k+2）x+1．
∴抛物线的对称轴为x=k+2．
当k+2＜-2时，即k＜-4时，当x=-2时，y₂有最小值，y₂的最小值=$\frac{1}{2}$×4+2（k+2）+1=2k+7；
当-2≤k+2≤1时，即-4≤k≤-1时，当x=k+2时，y₂有最小值，y₂的最小值=$\frac{1}{2}$（k+2）²-（k+2）²+1=-$\frac{1}{2}$（k+2）²+1．
当k+2＞1时，即k＞-1时，当x=1时，y₂有最小值，y₂的最小值=$\frac{1}{2}$×1-（k+2）+1=-k-$\frac{1}{2}$．
综上所述，g（k）的解析式为g（k）=$\left\{\begin{array}{l}{2k+7（k＜-4）}\\{-\frac{1}{2}（k+2）^{2}+1（-4≤k≤-1）}\\{-k-\frac{1}{2}（k＞-1）}\end{array}\right.$．
（4）当k＜-4时：令y=2k+7=1，得k=-3，不合题意舍去；
当-4≤k≤-1时：令y=-$\frac{1}{2}$（k+2）²+1=1；得k=-2．
当k＞-1时：令y=-k-$\frac{1}{2}$=1，得k=-$\frac{3}{2}$，舍去．
综上所述，k=-2．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，找出二次函数在自变量取值范围内取得最小值的条件是解答本题的关键．