Question

9．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$

Answer 1

分析 小正方形EFGH面积是a²，则大正方形ABCD的面积是13a²，则小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的边长是$\sqrt{13}$a，设AE=DH=x，利用勾股定理求出x，最后利用熟记函数即可解答．

解答 解：设小正方形EFGH面积是a²，则大正方形ABCD的面积是13a²，
∴小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的边长是$\sqrt{13}$a，
∵图中的四个直角三角形是全等的，
∴AE=DH，
设AE=DH=x，
在Rt△AED中，AD²=AE²+DE²，
即13a²=x²+（x+a）²
解得：x₁=2a，x₂=-3a（舍去），
∴AE=2a，DE=3a，
∴tan∠ADE=$\frac{AE}{DE}$=$\frac{2}{3}$，
故选：C．

点评 此题中根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解．