Question

10．如图，△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与边AB、BC分别交于点D、E．过E的直线与⊙O相切，与AC的延长线交于点G，与AB交于点F．
（1）求证：△BDE为等腰三角形；
（2）求证：GF⊥AB；
（3）若⊙O半径为3，DF=1，求CG的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ACED是⊙O的内接四边形，得到∠ACB+∠ADE=180°，由于∠BDE+∠ADE=180°，得到∠BDE=∠ACB，即可得到结论；
（2）连结OE，根据切线的性质得到∠OEG=90°，根据等腰三角形的性质得到∠OEC=∠ACB，根据平行线的性质即可得到结论
（3）设CG=x．根据等腰三角形的性质得到BF=DF=1，AF=AB-BF=AC-BF=5，由相似三角形的判定和性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ACED是⊙O的内接四边形，
∴∠ACB+∠ADE=180°，
∵∠BDE+∠ADE=180°，
∴∠BDE=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
∴∠B=∠BDE，
∴△BDE为等腰三角形；

（2）连结OE，
∵直线FG与⊙O相切，
∴∠OEG=90°，
∵OC=OE，
∴∠OEC=∠ACB，
∵∠B=∠ACB，
∴∠B=∠OEC，
∴OE∥AB，
∴∠AFG=∠OEG=90°，
即GF⊥AB；

（3）设CG=x．
∵△BDE为等腰三角形，GF⊥AB，
∴BF=DF=1，AF=AB-BF=AC-BF=5，
∵OE∥AB，
∴△GOE∽△GAF，
∴$\frac{OE}{AF}$=$\frac{OG}{AG}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{x+3}{x+6}$，
解得x=$\frac{3}{2}$，
即CG=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了圆内接四边形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．