Question

用16m长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，CD长表示窗框的宽，EF=0.5m．（铝合金条的宽度忽略不计）
（1）求窗框的透光面积S（m²）与窗框的宽x（m）之间的函数关系式；
（2）如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大面积为多少？
（3）当窗框的面积不小于7m²时，试结合函数的图象，直接写出x的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）可证明四边形BCHG、四边形DEGH、四边形ABEF是矩形．由图得出BC以及AC，从而得出用含x的代数式表示S即可；
（2）根据（1）关系式利用公式法求出最值即可，
（3）根据当s=10时解方程即可得出图象上点的坐标，进而求出与x轴交点坐标，得出图象即可得出x的取值范围．

解答：解：（1）在矩形ACDF中，∵∠A=90°，AB∥EF，AF∥BE，
∴四边形ABEF是矩形，
∴EF=AB=0.5米．GH⊥CD，
∴∠CHG=90°=∠C=∠CBG，
∴四边形BCHG是矩形，同理四边形DEGH是矩形．
设AF=x，
∵BC=HG=DE=

16-2×0.5-3x

3

=5-x，AC=BC+AB，
∴y=5-x+0.5=-x+

11

2

．
S=xy=（-x+

11

2

）x=-x ²+

11

2

x（0＜x＜

11

2

），

（2）依题意得S=-x ²+

11

2

x，
当x=-

b

2a

=-

11 2

2×(-1)

=

11

4

时，
S_最大=

4ac-b2

4a

=

0- 121 4

4×(-1)

=

121

16

cm²；

（3）当（-x+

11

2

）x=7，
解得x₁=

7

2

，x₂=4，
当s=0，则0=-x ²+

11

2

x，
解得：x₁=0，x₂=5.5，
图象与x轴交点坐标为：（0，0），（5.5，0），再利用图象顶点坐标为：（

11

4

，

121

16

），
如图所示：

由图象得出x的取值范围：3.5≤x≤4．

点评：本题考查了二次函数的应用，利用了二次函数的顶点坐标，由图象得出x的取值范围是解题关键．