Question

14．已知二次函数y=ax²-bx-2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（-1，0），给出下列叙述：
①式子b²＞8a； 
②式子a-b-2＜0；
③存在实数k，满足x≤k时，函数y的值都随x的值增大而增大；
④当a-b为整数时，ab的值为1；
其中正确的是（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 根据题意可确定a的符号，根据抛物线的对称轴的位置可确定b的符号，进而确定与x轴的交点情况即可判断①；代入（-1，0）求得a+b-2=0，进而求得a+b-2-2b=-2b＞0，即可判断②；根据二次函数的性质即可判断③；根据a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a-b为整数确定a、b的值，从而确定④．

解答 解：∵二次函数y=ax²-bx-2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（-1，0），
∴抛物线的开口向上可得a＞0，抛物线与x轴有两个交点，a+b-2=0，-$\frac{b}{2a}$＞0，
∴b＜0，b²-4ac＞0，
∴b²-4a×（-2）＞0，
∴b²＞8a； 故①正确；
由a+b-2=0，b＜0可知：a+b-2-2b=-2b，
即a-b-2=-2b＞0，故②错误；
当x＜-$\frac{b}{2a}$时，函数y的值都随x的增大而减小，
当k=-$\frac{b}{2a}$时，当x＜k时，函数y的值都随x的值增大而减小；故③错误；
∵a+b-2=0，b＜0，
∴b=2-a，a-b=a-（2-a）=2a-2，
于是0＜a＜2，
∴-2＜2a-2＜2，
又a-b为整数，
∴2a-2=-1，0，1，
故a=$\frac{1}{2}$，1，$\frac{3}{2}$，
b=$\frac{3}{2}$，1，$\frac{1}{2}$，
∴ab=$\frac{3}{4}$或1，故④错误．
故选B．

点评 本题主要考查了抛物线的性质（开口、对称轴等）、抛物线上点的坐标特征等知识，运用数形结合的思想是解决本题的关键．