Question

17．已知：如图，BA与⊙O相切于点A，连接OB交⊙O于点C．
（1）如图1，若∠ABO=30°，求证：BC=OC；
（2）如图2，若BC：OC=2：3，求∠ABO的正切值；
（3）如图3，在（2）的条件下，BD与⊙O相切于点D，连接OD，过点A作AE∥OD交⊙O于点E，连接DE交OB于点L．若BD=8，求DL的长．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形30度角性质，可知BO=2OA，由此即可证明．
（2）如图2中，连接OA，设BC=2a，OC=3a，利用勾股定理求出AB，根据tan∠OBA=$\frac{OB}{AB}$，即可解决问题．
（3）首先证明DL=AM，求出DO、OB、DM，再根据△DOB∽△AMD，$\frac{AM}{DO}$=$\frac{DM}{OB}$即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，连接AC、OA．

∵AB是⊙O切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=30°，
∴OB=2AO，
∵OB=OC+BC，
∴BC=CO．

（2）如图2中，连接OA，设BC=2a，OC=3a，

∵AB是⊙O切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
在Rt△AOB中，∵∠OAB=90°，BO=5a，OA=3a，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{（5a）^{2}-（3a）^{2}}$=4a，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{BA}$=$\frac{3a}{4a}$=$\frac{3}{4}$．

（3）如图3中，连接AD、延长DO交⊙O于M，连接AM．

∵AL∥DM，
∴∠DAL=∠ADM，
∴$\widehat{DL}$=$\widehat{AM}$，
∴DL=AM，
∵BD、BA是⊙O切线，
∴∠OBD=∠OBA，BD=AB=8，∠ODB=90°，
∵tan∠OBD=tan∠OBA=$\frac{3}{4}$，
∴DO=6，BO=$\sqrt{B{D}^{2}+D{O}^{2}}$=10，
∵DM是直径，
∴∠DAM=∠ODB=90°，
∵OB⊥AD，MA⊥AD，
∴OB∥AM，
∴∠BOD=∠M，
∴△DOB∽△AMD，
∴$\frac{AM}{DO}$=$\frac{DM}{OB}$
∴$\frac{AM}{6}$=$\frac{12}{10}$，
∴AM=$\frac{36}{5}$，
∴DL=AM=$\frac{36}{5}$．

点评 本题考查圆的综合题、直角三角形30度角性质、锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．