Question

7．已知：△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E．
（1）如图1，求证：$\widehat{CD}$=$\widehat{DE}$；
（2）如图2，若AB=13，BC=10，F为半圆的中点，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）连接AD，由圆周角定理得出∠ADC=90°，由等腰三角形的性质得出∠CAD=∠EAD，即可得出结论$\widehat{CD}$=$\widehat{DE}$；
（2）连接AF、CF，作FG⊥BC于G，由圆周角定理得出∠AFC=90°，证出△AFC是等腰直角三角形，由勾股定理得出CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，证出△DFG是等腰直角三角形，得出FG=DG，DF=$\sqrt{2}$FG，由等腰三角形的性质得出BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5，设FG=x，得出CG=x-5，在Rt△CFG中，由勾股定理得出方程，解方程求出FG=8.5，即可得出DF的长．

解答 （1）证明：连接AD，如图1所示：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠CAD=∠EAD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{DE}$；
（2）解：连接AF、CF，作FG⊥BC于G，如图2所示：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AFC=90°，
∵F为半圆的中点，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，∠FDC=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴FG=DG，DF=$\sqrt{2}$FG，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5，
设FG=x，
∴CG=x-5，
在Rt△CFG中，由勾股定理得：x²+（x-5）²=（$\frac{13\sqrt{2}}{2}$）²，
解得：x=8.5，或x=-3.5（舍去），
∴FG=8.5，
∴DF=8.5×$\sqrt{2}$=$\frac{17\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、圆心角、弧、弦的关系、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解决问题的关键．