Question

如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=5，cos∠BCD=

4

5

．
（1）求弦CD的长；
（2）求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）首先连接OD，由∠DAE=∠BCD与AD=5，cos∠BCD=

4

5

，可求得AE与ED的长，又由垂径定理，即可求得弦CD的长；
（2）首先设OD=x，由在Rt△OED中，OE²+ED²=OD²，可得方程：（4-x）²+3²=x²，解此方程组即可求得答案．

解答：解：（1）连接OD，
∵∠DAE=∠BCD，
∴在Rt△AED中，AD=5，cos∠DAE=cos∠BCD=

4

5

，
∴AE=4，
∴ED=

AD2-AE2

=3，
∵AB⊥CD，
∴CD=2ED=6；

（2）设OD=x，
∴OE=AE-OA=4-x，
∵在Rt△OED中，OE²+ED²=OD²，
∴（4-x）²+3²=x²，
∴x=

25

8

，
∴⊙O的半径为

25

8

．

点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．