Question

15．已知：如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E． 求△ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短．若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A点和B点坐标分别代入y=-x²+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）通过解方程-x²+2x+3=0得到E点坐标，再把一般式配成顶点式得到D点坐标，然后根据三角形面积公式计算△ODE的面积；连接BE交直线x=1于点P，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB的值最小，然后求出BE的解析式后易得P点坐标．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3；
（2）当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则E（3，0）；
y=-（x-1）²+4，则D（1，4），
∴S_△ODE=$\frac{1}{2}$×3×4=6；
连接BE交直线x=1于点P，如图，则PA=PE，
∴PA+PB=PE+PB=BE，
此时PA+PB的值最小，
易得直线BE的解析式为 y=-x+3．，
当x=1时，y=-x+3=3，
∴P（1，2）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了最短路径问题．