Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s速度移动；点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？(2)求四边形QAPC的面积，并提出一个与计算结果有关的结论；(3)当t为何值时，以Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)对于任何时刻t，AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t，当AQ＝AP时，△QAP为等腰直角三角形，即6－t＝2t，解得t＝2，所以，当t＝2s时，△QAP为等腰直角三角形． 　　(2)在△QAC中，QA＝6－t，QA边上的高DC＝12，所以S△QAC＝QA·DC＝(6－t)·12＝36－6t．在△APC中，AP＝2t，AP边上的高BC＝6，所以S△APC＝AP·BC＝·2t·6＝6t，所以S四边形QAPC＝S△QAC＋S△APC＝36－6t＋6t＝36(cm2)， 　　由计算结果发现： 　　在P、Q两点移动过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．(也可提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变). 　　(3)根据题意，可分为两种情况研究． 　　①当＝时，△QAP∽△ABC．那么＝，解得t＝1.2．即当t＝1.2s时，△QAP∽△ABC, 　　②当＝时，△PAQ∽△ABC．那么＝，解得t＝3．即当t＝3s时，△PAQ∽△ABC,所以，当t＝1.2s或t＝3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似． 　　分析：(1)已知∠PAQ＝，若使△QAP为等腰直角三角形，只需满足AP＝AQ；(2)求四边形的面积，因形状不规则，可采用“割补法”；(3)要考虑的两个相似三角形，除了对应的直角外，另外的两个对应关系没有明确，所以要分两种情况研究．

提示：

注意：相似三角形作为数学的一个重大分支，是中考的必考内容，题型包括选择、填空、解答，涉及的内容广而全，而以相似三角形为背景的综合题更是常见的热点题型．