Question

如图所示，在矩形ABCD中，E为BC上一动点，BE=kCE，ED交AC于点P，DQ⊥AC于Q，AB=nBC
（1）当n=1，k=2时（如图1），

CP

PQ

=

 

；
（2）当n=

2

，k=1时（如图2），求证：CP=AQ；
（3）若k=1，当n=

 

时，有CP⊥DE．

Answer 1

分析：（1）根据题意可以得出Q为正方形的中点，AQ=CQ，结合△ADP∽△CEP，得出CP和AP的关系，即可得出结论．
（2）同（1）得出CP和AP的关系，设BC=1，则AB=

2

，进而得出AC的长，由条件可以证得△ADQ∽△CAB，即得出AD、CA、AQ、BC之间的关系式，求出AQ的值，即可证得．
（3）把结论当做已知条件，可得△CPE∽△CBA，求得CE、CP、CA、CB之间的关系式，设BC=1，则可以表示出AB、AC、PC的值，代入关系式求解即可．

解答：解：（1）∵矩形ABCD中，AB=AC，
∴AD=BC、AD∥BC，OA=OC，
∴∠DAP=∠ECP，∠ADP=∠CPE，
∴△ADP∽△CEP，
∴

AP

CP

=

AD

CE

，
∵BE=kCE，k=2，
∴AD：CE=3：1，
∴AP：CP=3：1，
∴

CP

PQ

=1．

（2）证明：∵矩形ABCD中，BE=kCE，AB=nBC，n=

2

，k=1，
∴AD∥BC，AD=BC，∠DAP=∠ECP，∠ADP=∠CEP，
∴△ADP∽△CEP，
∴

AD

CE

=

AP

CP

=

2

1

，
设BC=1，则AB=

2

，根据勾股定理得AC=

3

，PC=

3

3

∵DAQ=∠BCA、∠AQD=∠B=90°，
∴△ADQ∽△CAB，
∴

AQ

BC

=

AD

AC

=

1

3

，
∴AQ=

3

3

，
∴CP=AQ．

（3）∵矩形ABCD中，BE=kCE，AB=nBC，k=1，
∴AD∥BC，AD=BC，∠DAP=∠ECP，∠ADP=∠CEP，
∴

AD

CE

=

AP

CP

=

2

1

，
设BC=1，则AB=n，AC=

1+n2

，
∴PC=

1+n2

3

，
∵CP⊥DE，
∴∠CPE=∠CBA，
∵∠ECP=∠ACB，
∴△CPE∽△CBA，
∴

CE

AC

=

CP

BC

，
∴

1 2

1+n2

=

1+n2 3

1

，
∴n=

2

2

．

点评：本题考查了矩形的性质，综合运用了三角形相似的性质，属于基本的题型，要求熟练掌握．