Question

9．如图，△ABC是等边三角形，点D是直线BC上一点，过点D作DM∥AC交直线AB于点M，∠ADE=60°，DE交△ABC的外角∠ACF的平分线CE于点E．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：∠1=∠2；
（2）如图1，当点D在线段BC上时，求证：AD=DE；
（3）如图2，当点D在BC延长线上时，求证：∠MAD=∠CDE；
（4）如图2，当点D在BC延长线上时，求证：AD=DE．

Answer 1

分析 （1）先用三角形的外角和等边三角形的性质即可得出结论；
（2）根据平行线的性质得出∠BDM=60°，结合等边三角形的性质即可得出△BMD是等边三角形，在判断出△AMD≌△DCE即可；
（3）利用三角形的外角即可；
（4）先判断出AM=DC，从而得出△AMD≌△DCE即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠1+∠B=∠ADF
∠2+∠ADE=∠ADF
∴∠1+∠B=∠2+ADE
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ADE=60°
∴∠1=∠2               
（2）证明：∵DM∥AC
∴∠BMD=∠BAC=60°
∠BDM=∠BCA=60°
∵∠B=60°
∴∠B=∠BDM=∠BMD
∴△BMD是等边三角形
∴AB-BM=BC-BD
∴AM=DC                    
在△AMD 和△DCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠AMD=∠DCE}\\{AM=DC}\end{array}\right.$
∴△AMD≌△DCE（ASA）
∴AD=DE                    
（3）证明：∵∠MAD=∠B+∠ADC
∠CDE=∠ADE+∠ADC
∠B=∠ADE=60°
∴∠MAD=∠CDE           
（4）证明：由（2）知，△BMD是等边三角，
∴BM-AB=BD-BC
∴AM=DC                   
在△AMD 和△DCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠MAD=∠CDE}\\{∠AMD=∠DCE}\\{AM=DC}\end{array}\right.$
∴△AMD≌△DCE（ASA）
∴AD=DE

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，平行线的性质，解本题的根据是利用三角形的外角的性质得出∠MAD=∠B+∠ADC．