Question

【题目】一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：

将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图．

将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图．

将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图．

连结AE、AF、BE、BF，如图．

经过以上操作，小芳得到了以下结论：

；四边形MEBF是菱形；为等边三角形；：：．以上结论正确的有

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据折叠的性质可得∠BMD=∠BNF=90°，然后利用同位角相等，两直线平行可得CD∥EF，从而判定①正确；

根据垂径定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，从而得到BM、EF互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF是菱形，从而得到②正确；根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根据等边对等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEM=30°，从而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠EAF=60°，从而判定△AEF是等边三角形，③正确；

设圆的半径为r，求出EN= ，则可得EF=2EN=，即可得S四边形AEBF：S扇形BEMF的答案，所以④正确．

解：∵纸片上下折叠A、B两点重合，

∴∠BMD=90°，

∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，

∴∠BNF=90°，

∴∠BMD=∠BNF=90°，

∴CD∥EF，故①正确；

根据垂径定理，BM垂直平分EF，

又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，

∴BN=MN， ∴BM、EF互相垂直平分，

∴四边形MEBF是菱形，故②正确；

∵ME=MB=2MN，

∴∠MEN=30°，

∴∠EMN=90°-30°=60°，

又∵AM=ME（都是半径），

∴∠AEM=∠EAM，

∴∠AEM=∠EMN=×60°=30°，

∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°，

同理可求∠AFE=60°， ∴∠EAF=60°，

∴△AEF是等边三角形，故③正确；

设圆的半径为r，则EN=， ∴EF=2EN=，

∴S四边形AEBF：S扇形BEMF=

故④正确，

综上所述，结论正确的是①②③④共4个．

故选：D．