Question

【题目】已知：如图所示，在中，、分别是和的角平分线，交、于点、，连接、．

（1）求证：、互相平分；

（2）若，，，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）证明四边形DEBF是平行四边形即可；

（2）过D点作DG⊥AB于点G，通过已知可证△ADE是等边三角形，所以GE=2，DE=4，由勾股定理可求DG=，由，得EB=2，所以GB=4，由勾股定理得．

解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，CD=AB，AD=BC，

∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，

∴∠ADE=∠CDE，∠CBF=∠ABF，

∵CD∥AB，

∴∠AED=∠CDE，∠CFB=∠ABF，

∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF，

∴AE=AD，CF=CB，

∴AE=CF，

∴AB-AE=CD-CF 即BE=DF，

∵DF∥BE，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∴BD、EF互相平分；

（2）过D点作DG⊥AB于点G，

∵∠A=60°，AE=AD，

∴△ADE是等边三角形，

∵AD=4，

∴DE=AE=4，

∴

∵AE=2EB，

∴BE=2，

∴GB=4，

∴．