Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE=CB，∠BCD=∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）求证：CE=CF；

（3）若BD=1，CD=，求弦AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）连接OC，可证得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即结论得证；

（2）证明△ABC≌△AFC可得CB=CF，又CB=CE，则CE=CF；

（3）证明△DCB∽△DAC，可求出DA的长，求出AB长，设BC=a，AC=a，则由勾股定理可得AC的长．

解：（1）连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAD+∠ABC=90°，

∵CE=CB，

∴∠CAE=∠CAB，

∵∠BCD=∠CAE，

∴∠CAB=∠BCD，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OCB+∠BCD=90°，

∴∠OCD=90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2）∵∠BAC=∠CAE，∠ACB=∠ACF=90°，AC=AC，

∴△ABC≌△AFC（ASA），

∴CB=CF，

又∵CB=CE，

∴CE=CF；

（3）∵∠BCD=∠CAD，∠ADC=∠CDB，

∴△DCB∽△DAC，

∴，

∴，

∴DA=2，

∴AB=AD﹣BD=2﹣1=1，

设BC=a，AC=a，由勾股定理可得：，

解得：a=，

∴.