Question

【题目】（操作体验）

如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB=30°，如图②，小明的作图方法如下：

第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；

第二步：连接OA，OB；

第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于；

所以图中即为所求的点．（1）在图②中，连接，说明∠=30°

（方法迁移）

（2）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC=45°，（不写做法，保留作图痕迹）．

（深入探究）

（3）已知矩形ABCD，BC=2．AB=m，P为AD边上的点，若满足∠BPC=45°的点P恰有两个，则m的取值范围为________．

（4）已知矩形ABCD，AB=3，BC=2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC=135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为________．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2≤m<；（4）．

【解析】

（1）先根据等边三角形得：∠AOB=60°，则根据圆周角定理可得：∠=30°；

（2）先作等腰直角三角形BEC、BFC，再作△EBC的外接圆，可得圆心角∠BOC=90°，则所对的圆周角都是45°；

（3）先确定⊙O，根据同弧所对的圆周角相等可得AD在四边形GEFH内部时符合条件；

（4）先确定⊙O，根据圆周角定理正确画出∠BPC=135°，利用勾股定理求OF的长，知道A、P、O在同一直线上时，AP最小，则PQ的值最小，求AE的长，即是AP的长，可得PQ的最小值．

∵OA=OB=AB，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠AOB=60°，

由图②得：∠=∠AOB=30°；

如图③，①以B、C为圆心，以BC为半径作圆，交AB、DC于E、F，

②作BC的中垂线，连接EC，交于O，

③以O为圆心，OE为半径作圆，

则上所有的点（不包括E、F两点）即为所求；

如图④，同理作⊙O，

∵BE=BC=2，

∴CE=，

∴⊙O的半径为，即OE=OG=，

∵OG⊥EF，

∴EH=1，

∴OH=1，

∴GH=，

∴BE≤AD<MN，

∴2≤m<，即2≤m<，

故答案为：2≤m<；

如图⑤，构建⊙O，使∠COB=90°，在优弧上取一点H，则∠CHB=45°

∴∠CPB=135°，

由旋转得：△APQ是等腰直角三角形，

∴PQ=AP，

∴PQ取最小值时，就是AP取最小值，

当P与E重合时，即A、P、O在同一直线上时，AP最小，则PQ的值最小，

在Rt△AFO中，AF=1，OF=3+1=4，

∴AO=，

∴AE==AP，

∴PQ=AP==．

故答案为：．