Question

17．观察下列各式：
-1×$\frac{1}{2}$=-1+$\frac{1}{2}$；
-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$；
-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$；
…
（1）你发现的规律是$-\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$=$-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$（用含n的式子表示，n为正整数）；
（2）用以上规律计算：（-1×$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$）+（-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$）+…+（-$\frac{1}{2016}$×$\frac{1}{2017}$）．

Answer 1

分析 （1）由已知得，分数的分母与项数有关，第n项为$-\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$=$-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$；
（2）根据规律将原式中的积拆成和的形式，运算即可．

解答 解：（1）∵第1项：-1×$\frac{1}{2}$=-1+$\frac{1}{2}$；
第2项：-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$；
第3项：-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$；
…
∴第n项为$-\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$=$-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$（n为整数），
故答案为：$-\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$=$-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$；

（2）由（1）知，原式=（$-1+\frac{1}{2}$）+（$-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$）+（$-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$）+…+（$-\frac{1}{2016}$$+\frac{1}{2017}$）
=$-1+\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}+$$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$+…$-\frac{1}{2016}$$+\frac{1}{2017}$
=$-1+\frac{1}{2017}$
=$-\frac{2016}{2017}$．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，运用规律是解答此题的关键．