题目内容

如图，等腰梯形ABCD的底边AB在x轴上，且点A与原点O重合，点B坐标为（8
2
，0），点D坐标为（3
2
，3
2
），点E为AB边上一动点，以每秒
2
个单位的速度由A向B运动，运动时间为t，将射线ED绕E点顺时针旋转45°交BC于F点．

（1）求经过A、C、D三点的抛物线；
（2）求出线段BF的最大值；
（3）若△ADE为等腰三角形，求t值；
（4）在直线BC上取一点P，求DE+EP的最小值．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）过D作DD′⊥AB于D′，过C作CC′⊥AB于C′，可得C点坐标为（5
2
，0），运用待定系数法求得过A、C、D三点的抛物线；
（2）根据相似三角形的判定可得△ADE∽△BEF，根据相似三角形的性质可得
AD
BE
=
AE
BF
，设BF=y，可得y=-
1
3
(t-4)2+
16
3
，从而得到线段BF的最大值；
（3）分三种情况：①当ED=EA时（如点E1）；②当AD=AE时（如点E2）；③当DA=DE时（如点E3）；讨论可得△ADE是等腰三角形时t的值；
（4）作点D关于x轴的对称点D′，过D′作D′P⊥CB于P，连接D′P交OB于点E，由轴对称知DE+EP=D′E+EP=D′P，由垂线段最短知此时D′P最短，则DE+EP也最小．
解答：解：（1）如图1，过D作DD′⊥AB于D′，过C作CC′⊥AB于C′，
可求得BC′=OD′=3
2
，CC′=DD′=3
2
，D′C′=DC=2
2
，
则C点坐标为（5
2
，0），
运用待定系数法求得过A、C、D三点的抛物线为y=-
2
10
x2+
8
5
x

（2）如图2，计算知∠CBA=∠DAB=∠DEF=45°，∠1+∠2=135°，∠2+∠3=135°，
所以∠1=∠3，△ADE∽△BEF，
则
AD
BE
=
AE
BF
，
设BF=y，即有
6
8
2
-
2
t
=
2
t
y
，
化简得：y=-
1
3
t2+
8
3
t，
配方得y=-
1
3
(t-4)2+
16
3
，
当t=4时，y有最大值且为
16
3
，即BF最大为
16
3


（3）如图3由上图计算知AD=
2
AD′=6，∠BAD=45°；
①当ED=EA时（如点E1），则∠E1AD=∠E1DA=45°，DE1⊥AB，则E1与上图中的D′重合，故OE1=3
2
，t=3
2
÷
2
=3；
②当AD=AE时（如点E2），则AE2=AD=6，t=6÷
2
=3
2
；
③当DA=DE时（如点E3），由“三线合一”得AE3=2AE1=6
2
÷
2
=6
综上所述，当t=3，3
2
，6时，△ADE是等腰三角形．

（4）如图4，作点D关于x轴的对称点D′，过D′作D′P⊥CB于P，连接D′P交OB于点E，
由轴对称知DE+EP=D′E+EP=D′P，
由垂线段最短知此时D′P最短，则DE+EP也最小．
由∠CBO=45°，可推导D′E=
2
D′F=
2
DF=
2
•3
2
=6，BE=BF-FG=2
2
，EP=
BE
2
=2，
所以D′P=8，即DE+EP最小值为8．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，相似三角形的判定和性质，最值问题，等腰三角形的性质，分类思想，由轴对称的性质，垂线段最短，综合性较强，有一定的难度．
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∴∠DAF=
1
2
（∠
 
），∠BCE=
1
2
（∠
 
）（
 
）
又∵∠DAB=∠BCD（已知）
∴（∠
 
）=（∠
 
）（
 
）
∵AD∥BC（已知）
∴∠DAF=∠BFA（
 
）
∴∠BCE=∠BFA （
 
）
∴AF∥EC （
 
）．
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3
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（1）
30.125
-
3
1
16
+
3(1-
7
8
)2
；        
（2）|1-
2
|+|
2
-
3
|+|2-
3
|．
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．
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x＜3a-1
无解，则a的取值范围是
 
．

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