Question

12．已知△ABC中，BC=8．将△ABC沿BC方向向右平移2个单位长度，得到△DEF．
（1）如图1，在不添加其他任何线的条件下，写出图中的平行四边形有?ABED、?ACFD．（请用符号表示出图中的平行四边形）
（2）如图2．点P、Q是两个动点，点P从点A出发，沿射线AD以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点F出发，以每秒4个单位长度的速度向点B运动．到达点B后立即原速返回点F，点Q回到点F时两个动点停止运动．设点Q的运动时间为t秒．
①求t为何值时，以点A、B、Q、P为顶点的四边形是平行四边形．
②若点M是DF的中点，那么t=4.4秒时，PQ恰好过点M．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质：对应线段相等，得：AD=BE，AB=DE，则四边形ABED是平行四边形，同理得：四边形ACFD是平行四边形；所以图1中有2个平行四边形：是?ABED、?ACFD；
（2）先根据两个动点的速度和时间表示其路程：AP=1×t=t，因为动点Q是从F→B→F，所以点Q的路程有点复杂，要分别表示为：F→B时，0＜t≤2.5，FQ=4t，BQ=10-4t；B→F时，当2.5＜t≤5时，FQ=20-4t，BQ=10-（20-4t），再由点A、B、Q、P为顶点组成平行四边形时，满足AP=BQ，列方程即可；
（3）首先根据点M是DF的中点，证明△DMP≌△FMQ，PD=FQ，由此列方程可得出结论．

解答 解：（1）①四边形ABED是平行四边形，理由是：
由平移得：AD=BE，AB=DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
②同理得：四边形ACFD是平行四边形；
故答案为：?ABED、?ACFD；
（2）由题意得：AP=t，
当0＜t≤2.5时，FQ=4t，BQ=10-4t，
当2.5＜t≤5时，FQ=20-4t，BQ=10-（20-4t），
∵AP∥BQ，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即t=10-4t或t=10-（20-4t），
t=2或t=$\frac{10}{3}$，
则t=2或t=$\frac{10}{3}$时，以点A、B、Q、P为顶点的四边形是平行四边形；
（3）如图3，
∵点M是DF的中点，
∴DM=FM，
∵AP∥BQ，
∴∠APM=∠FQM，
在△DMP和△FMQ中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠APM=∠FQM}\\{∠DMP=∠FMQ}\\{DM=FM}\end{array}\right.$，
∴△DMP≌△FMQ（AAS），
∴PD=FQ，
即t-2=4t或t-2=20-4t，
t₁=-$\frac{2}{3}$（舍），t₂=4.4，
∴若点M是DF的中点，那么t=4.4时，PQ恰好过点M，
故答案为：4.4秒．

点评 本题是四边形的综合题，也是平移变换和动点的综合问题，难度适中；熟记平移前后两图形的对应点的连线平行且相等，本题除了根据动点的速度、时间表示其路程外，还要注意点Q是往返路程，因此FQ和BQ在两类时间上，所表示的关于t的式子不同．