Question

如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，A（0，2）、B（-

3

2

，0）且梯形的面积为9．
（1）求C、D两点的坐标；
（2）将梯形ABCD绕点B旋转180°得到梯形A₁BC₁D₁，求对称轴平行y轴，且经过B、C₁、D₁三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与直线A₁B和x轴同时相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）作DE⊥BC于E，由条件可以得出△ABO≌△DCE，四边形AOED是矩形，得出BO=EC，AD=OE，设AD=x，根据梯形的面积公式就可以求出AD的值；
（2）根据（1）的结论及中心对称先求出C1，D1，A1的坐标，根据待定系数法就可以求出二次函数的解析式；
（3）设点P分别在P₁、P₂的位置，连接P₁B并延长交y轴于点F，作FG⊥AB于G，就有P₁F是∠ABO的角平分线，通过解直角三角形可以求出OF的值，再根据△BOF∽△BHP₁和△P₂HB∽△BOF，根据相似三角形的性质就可以求出HP₁、HP₂的值，从而得出结论．

解答：解：（1））作DE⊥BC于E，
∴∠DEC=∠DEO=90°．
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC=90°．
∵∠AOE=90°，
∴四边形AOED是矩形，
∴AD=OE，AO=DE，
在Rt△AOB和Rt△DEC中，

AB=DC AO=DE

，
∴Rt△AOB≌Rt△DEC，
∴BO=EC．
∵A（0，2）、B（-

3

2

，0），
∴OA=2，OB=

3

2

，
∴EC=

3

2

．
设AD=x，则OE=x，由梯形的面积公式得出：

2×(x+x+ 3 2 + 3 2 )

2

=9，
解得：x=3，
∴OE=3，OC=4.5，
∴C（4.5，0），D（3，2）
（2）由（1）得，C₁O=7.5，
∴C₁（-7.5，0），D₁（-6，-2），
设抛物线的解析式为y=a（x+7.5）（x+1.5），由条件，得
-2=a（-6+7.5）（-6+1.5），
解得：a=

8

27

，
∴抛物线的解析式为：y=

8

27

（x+7.5）（x+1.5），
y=

8

27

x²+

8

3

x+

10

3

；
（3）设点P分别在P₁、P₂的位置，连接P₁B并延长交y轴于点F，作FG⊥AB于G，
∴P₁F是∠ABO的角平分线，
∴GF=FO，
在Rt△BGF和Rt△BOF中，

BF=BF GF=OF

，
∴Rt△BGF≌Rt△BOF，
∴BG=BF．
在Rt△ABO中由勾股定理，得
AB=

2.25+4

=2.5，
∴AG=1，设OF=x，GF=x，AF=2-x．
在Rt△AGF中，由勾股定理，得
1+x²=（2-x）²，
解得：x=

3

4

．
∵∠FBO=∠P₁BH，
∴△BOF∽△BHP₁，
∴

BO

HB

=

FO

HP1

，
∴

3 2

3

=

3 4

HP1

，
∴HP₁=

3

2

，
∴P₁（-4.5，-1.5）
由△P₂HB∽△BOF，得

HB

OF

=

P2H

OB

，
∴

3

3 4

=

P2H

3 2

∴P₂H=6，
∴P₂（-4.5，6）．
综上所述，P点的坐标为：（-4.5，-1.5），（-4.5，6）．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了等腰梯形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，待定系数法求抛物线的解析式的运用，相似三角形的判定及性质的运用及解直角三角形的方法的运用，解答时证明三角形相似是关键．