Question

20．如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）BE、CF有怎样的数量关系？证明你的结论；
（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．

Answer 1

分析 （1）证明△BED≌△CFD，由全等三角形的性质可知BE=CF；
（2）首先证明四边形DFAE为矩形，然后由△BED≌△CFD可知DE=DF，从而可证明四边形DFAE为正方形．

解答 （1）答：BE=CF．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵D是BC的中点，
∴BD=CD．
在△BED和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠CFD=90°}\\{∠B=∠C}\\{BD=CD}\end{array}\right.$
∴△BED≌△CFD．
∴BE=CF．
（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°．
又∵∠A=90°，
∴四边形DFAE为矩形．
∵△BED≌△CFD．
∴DE=DF．
∴四边形DFAE为正方形．

点评 本题主要考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的判定和正方形的判定，掌握相关定理是解题的关键．