Question

如图，E是正方形ABCD中边CD上一点，且DE=

2

CE，连接BE，P、Q分别是BE、BC上的动点，若AD=3

2

，则PC+PQ的最小值是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,正方形的性质

专题：

分析：根据正方形的边长和DE=

2

CE求出CE，再利用勾股定理列式求出BE²，作点C关于BE的对称点C′，根据垂线段最短，作C′Q⊥BC与BE的交点即为所求的点P，利用△BCE和△C′QC相似，相似三角形对应边成比例列式表示出C′Q，利用三角形的面积用CC′表示出BE，然后整理求解即可．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AD=3

2

，
∵AD=3

2

，DE=

2

CE，
∴

2

CE+CE=3

2

，
解得CE=

3 2

2 +1

=6-3

2

，
在Rt△BCE中，BE²=BC²+CE²=（3

2

）²+（6-3

2

）²=36（2-

2

），
如图，作点C关于BE的对称点C′，作C′Q⊥BC与BE的交点即为所求的点P，
∵∠C′+∠BCC′=90°，
∠CBE+∠BCC′=90°，
∴∠C′=∠CBE，
又∵∠BCD=∠CQC′=90°，
∴△BCE∽△C′QC，
∴

CC′

BE

=

C′Q

BC

，
∴C′Q=

3 2 CC′

BE

，
∵S_△BCE=

1

2

BE•

1

2

CC′=

1

2

BC•CE，
∴CC′=

2BC•CE

BE

=

2×3 2 ×(6-3 2 )

BE

，
∴C′Q=

3 2 ×2×3 2 ×(6-3 2 )

BE2

，
=

3×36(2- 2 )

36(2- 2 )

=3，
即PC+PQ的最小值是3．
故答案为：3．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，确定出点P的位置是解题的关键．