Question

如图，△ABC的边BC在直线l上，AD是△ABC的高，∠ABC=45°，BC=6cm，AB=2

2

cm．点P从点B出发沿BC方向以1cm/s速度向点C运动，当点P到点C时，停止运动．PQ⊥BC，PQ交AB或AC于点Q，以PQ为一边向右侧作矩形PQRS，PS=2PQ．矩形PQRS与△ABC的重叠部分的面积为S（cm²），点P的运动时间为t（s）．回答下列问题：

（1）AD=

 

cm；
（2）当点R在边AC上时，求t的值；
（3）求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）由AD是△ABC的高，∠ABC=45°，可得AD=BD，再由AB=2

2

cm，即可得出AD的长；
（2）根据QR∥BC，可证明△AQR∽△ABC，从而得出

QR

BC

=

AE

AD

，即

2t

6

=

2-t

2

，解得t即可；
（3）分三段进行讨论：
①当0＜t≤

6

5

时（图1），根据∠B=45°，∠BPQ=90°，即可得出∠BQP=45°，则PQ=BP=t，从而得出S与t之间的函数关系式；
②当

6

5

＜t＜2时（图2），根据∠BAD=45°，则BD=AD=2cm，从而得出CD，即可证明△FSC∽△ADC，得比例式

SF

AD

=

SC

DC

，则SF=3-

3

2

t，再求得FR，由ER∥SC，得∠REF=∠C，即可证明△ERF∽△CDA，则

ER

DC

=

RF

AD

，ER=5t-6，从而得出S与t之间的函数关系式；
③当2≤t＜6时（图3），根据PQ∥AD，得△ERF∽△CDA，则

QP

AD

=

PC

CD

，即

QP

2

=

6-t

4

，得出QP=3-

1

2

t，从而得出S与t之间的函数关系式．

解答：解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴AD=BD，
∵AB=2

2

cm，
∴AD=2cm，
（2）∵QR∥BC，
∴△AQR∽△ABC，
∴

QR

BC

=

AE

AD

，即

2t

6

=

2-t

2

，
解得，t=

6

5

；
（3）①当0＜t≤

6

5

时（图1），∠B=45°，∠BPQ=90°，
∴∠BQP=90°-45°=45°
∴PQ=BP=t
∴S=S_矩形PQRS=2t•t=2t²．
②当

6

5

＜t＜2时（图2）∠BAD=90°-45°=45°
BD=AD=2cm
CD=6-2=4cm．
SF∥AD
∴△FSC∽△ADC
∴

SF

AD

=

SC

DC

，即

SF

2

=

6-3t

4

，
SF=3-

3

2

t，
∴FR=t-（3-

3

2

t）=

5t

2

-3，
∵ER∥SC，
∴∠REF=∠C
又∠REF=∠ADC=90°
∴△ERF∽△CDA
∴

ER

DC

=

RF

AD

，
即

ER

4

=

5t 2 -3

2

，
ER=5t-6，
∴S=S_矩形PQRS-S_△ERF=2t²-

1

2

（5t-6）（

5

2

t-3）
=-

17

4

t²+15t-9．
③当2≤t＜6时（图3）
∵PQ∥AD
∴△ERF∽△CDA，
∴

QP

AD

=

PC

CD

，
即

QP

2

=

6-t

4

，
∴QP=3-

1

2

t
∴S=S_△QPC=

1

2

（3-

1

2

t）（6-t）
=

1

4

t²-3t+9．

点评：本题考查了相似形的综合运用，以及勾股定理、函数的有关知识，解决这类综合性的题目，主要是掌握各知识点间的相互联系和分类讨论思想的运用．