Question

20．如图，在△ABC中（AB＞AC），AD是BC边上的高，E、F、G分别是BC、AB、AC三边的中点．
（1）求证：四边形DEFG为等腰梯形；
（2）连接EG和FD，∠FDG和∠GEF相等吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据中位线的性质得到四边形EFDG是梯形．又因为AD⊥BC，所以DG=$\frac{1}{2}$AC即EF=DG，那么推出四边形EFDG为等腰梯形；
（2）证明△DFG≌△EGF，即可得出，∠FDG和∠GEF相等．

解答 解：（1）证明：∵F、E、G分别是AB、BC、AC的中点，
根据三角形中位线定理，得EF=$\frac{1}{2}$AC．
FG∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCG为平行四边形，
∴FG=EC，
又∵DE＜EC，FG∥ED，
∴ED＜FG．
∴四边形DEFG是梯形，
又∵AD⊥BC，G为AC边的中点，
∴DG是Rt△ACD斜边的中线，
∴DG=$\frac{1}{2}$AC．
∴EF=DG．
∴四边形DEFG为等腰梯形；
（2）∠FDG和∠GEF相等，理由是：
∵四边形DEFG为等腰梯形，
∴∠DGF=∠EFG，DG=EF，
在△DFG和△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=EF}\\{∠DGF=∠EFG}\\{GF=FG}\end{array}\right.$，
∴△DFG≌△EGF（SAS），
∴∠FDG=∠GEF．

点评 本题考查了等腰梯形的判定、中位线的性质以及全等三角形的判定，掌握等腰梯形的性质：同一底上的两个角相等是证明全等的关键．