Question

15．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分：
A．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点，若四边形EFGH的面积12，则四边形ABCD的面积为24．
B．如图，AB、CD是两栋楼，且AB=CD=30m，两楼间距AC=24m，当太阳光与水平线的夹角为30°时，AB楼在CD楼上的影子是16.1m．（精确到0.1m）

Answer 1

分析 A、由中位线性质得GH∥BD，则△CHG∽△BDC，可得面积比为1：4，同理得S_△AEF=$\frac{1}{4}$S_△ADB，则S_△CHG+S_△AEF=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，有S_△CHG+S_△AEF+S_△DEH+S_△BFG=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的一半，代入得出结论．
B、作辅助线，构建直角三角形，先求AH的长，再求BH的长，即CG的长，也就是影子的长．

解答 解：A、∵点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点，
∴HG是△DBC的中位线，
∴GH∥BD，
∴△CHG∽△BDC，
∴S_△CHG=$\frac{1}{4}$S_△BDC，
同理S_△AEF=$\frac{1}{4}$S_△ADB，
∴S_△CHG+S_△AEF=$\frac{1}{4}$S_△BDC+$\frac{1}{4}$S_△ADB=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，
同理S_△DEH+S_△BFG=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，
∴S_△CHG+S_△AEF+S_△DEH+S_△BFG，
=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}+$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，
=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，
∴S四边形ABCD=2S四边形EFGH=2×12=24；
故答案为：24．
B、延长EA交CD于G，过G作GH⊥AB于H，
∵太阳光与水平线的夹角为30°，
∴∠AGH=30°，
∵BC=GH=24，
在Rt△AHG中，tan30°=$\frac{AH}{HG}$，
∴AH=24×tan30°=24×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=8$\sqrt{3}$，
∴CG=BH=AB-BH=30-8$\sqrt{3}$=30-8×1.732≈16.1，
故答案为：16.1．

点评 A题考查了中点四边形，利用三角形中位线的性质可得边平行和大小关系，也可以得面积的比，由此可知中点四边形的面积等于原四边形面积的一半；B题考查了平行投影，首先要明确太阳光线是平行光线，通过构建直角三角形，利用三角函数求边长．