Question

19．如图，点A是双曲线y=$\frac{k}{x}$与直线y=-x-（k+1）在第二象限内的交点，AB⊥x轴于B，且S_△ABO=$\frac{3}{2}$
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标；
（3）x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（4）求△AOC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用反比例函数k的几何意义得到$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{3}{2}$，则利用反比例函数的性质得到k=-3，从而得到反比例函数解析式和一次函数解析式；
（2）利用反比例函数与一次函数的交点问题的解决方法，通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{x}}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$可得到A点和C点坐标；
（3）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可；
（4）先求出D点坐标，然后根据三角形面积公式，利用S_△AOC=S_△AOD+S_△COD进行计算即可．

解答 解：（1）∵S_△ABO=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{3}{2}$，
而k＜0，
∴k=-3，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{3}{x}$；一次函数解析式为y=-x+2；
（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{x}}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴A（-1，3），C（3，-1）；
（3）当x＜-1或0＜x＜3时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（4）当y=0时，-x+2=0，解得x=2，则D（2，0），
∴S_△AOC=S_△AOD+S_△COD=$\frac{1}{2}$×2×3+$\frac{1}{2}$×2×1=4．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．