Question

6．设a₁=1+$\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}$，a₂=1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}$，a₃=1+$\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}$…，a_n=1+$\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}$，设S_n=$\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{{a}_{2}}+\sqrt{{a}_{3}}+…+\sqrt{{a}_{n}}$，则S₂=$\frac{8}{3}$，S_n=n+1-$\frac{1}{n+1}$（用含n的代数式表示，不需化简）

Answer 1

分析 把a_n通分并利用同分母分式的加法法则计算，开方得到$\sqrt{{a}_{n}}$，根据S_n=$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$，确定出S₂与S_n即可．

解答 解：∵a_n=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}+（n+1）^{2}+{n}^{2}}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{[n（n+1）+1]^{2}}{[n（n+1）]^{2}}$，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=$\frac{n（n+1）+1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S₂=$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$=1+1-$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{3}$；
则S_n=$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$=n+（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=n+1-$\frac{1}{n+1}$．
故答案为：$\frac{8}{3}$；n+1-$\frac{1}{n+1}$

点评 此题考查了算术平方根，根据题意表示出$\sqrt{{a}_{n}}$是解本题的关键．