Question

1．如图所示，在△ABC中，∠B=60°，BC=2，中线CD⊥BC，求AC，sinA的值．

Answer 1

分析 作CH⊥AB于H，如图，先在Rt△BCH中利用正弦定义求出CH=$\sqrt{3}$，则利用勾股定理计算出BH=1，接着在Rt△BCD中利用余弦的定义求出BD=$\frac{2}{cos60°}$=4，则AB=2BD=8，所以AH=8-1=7，然后利用勾股定理计算AC，利用正弦的定义求sinA的值．

解答 解：作CH⊥AB于H，如图，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD=90°，
在Rt△BCH中，∵sinB=$\frac{CH}{BC}$，
∴CH=2sin60°=$\sqrt{3}$，
∴BH=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
在Rt△BCD中，∵cosB=$\frac{BC}{BD}$，
∴BD=$\frac{2}{cos60°}$=4，
∵CD为中线，
∴AB=2BD=8，
∴AH=8-1=7，
在Rt△ACH中，AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
sinA=$\frac{CH}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{39}}{26}$，

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义．