Question

8．有一个n位自然数$\overline{abcd…gh}$能被x₀整除，依次轮换个位数字得到的新数$\overline{bcd…gha}$能被x₀+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数$\overline{cd…ghab}$能被x₀+2整除，按此规律轮换后，$\overline{d…ghabc}$能被x₀+3整除，…，$\overline{habc…g}$能被x₀+n-1整除，则称这个n位数$\overline{abcd…gh}$是x₀的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”． 再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2个一个“轮换数”．
（1）请判断：自然数24是“轮换数”，245不是“轮换数”（填“是”或“不是”）；
（2）若一个两位自然数的个位数字是m，十位数字是2m，求证：这个两位自然数一定是“轮换数”．
（3）若三位自然数$\overline{abc}$是4的一个“轮换数”，其中b＜3，求这个三位自然数$\overline{abc}$．

Answer 1

分析 （1）分别判断能否被两个联系的整数整除即可；
（2）表示出这个两位自然数，和轮换两位自然数，得到能整除即可；
（3）先表示出三位自然数和轮换三位自然数，再根据能被5整除，得出b的可能值，进而用4整除，得出c的可能值，最后用能被3整除即可．

解答 解：（1）∵24是6的倍数，42是7的倍数，
∴自然数24是“轮换数”；
∵245的约数是5、7、7，452的约数有2、2、113；
当245被5整除时，而452不能被6整除；
当245被7整除时，而452不能被8
整除；
∴245不是“轮换数”．

（2）此两位数为20m+m=21m=7m×3，是3的倍数； 轮换后为10m+2m=12m=4m×4，是4的倍数；
∴这个两位自然数一定是“轮换数”．

（3）此三位数为：100a+10b+c
当b=0时，三位数为：100a+10b+c=100a+c，∵100a+c是4的倍数，而100a是4的倍数，
∴c是4的倍数，∴c=4或8；
若c=4，轮换后为40+a是5的倍数，∴a=5；
验证：再次轮换后为450是6的倍数，即这个三位数为：504
若c=8，则三位数为：100a+8；
轮换后为80+a是5的倍数，∴a=5；
验证：再次轮换后为850不是6的倍数，即c=8舍去
当b=1时，三位数为：100a+10+c，∵100a+10+c是4的倍数，而100a是4的倍数，
∴10+c是4的倍数，∴c=2或6；
若c=2，轮换后为100+20+a是5的倍数，∴a=5；
验证：再次轮换后为251不是6的倍数，即c=2舍去；
若c=6，轮换后为100+60+a是5的倍数，∴a=5；
验证：再次轮换后为651不是6的倍数，即c=6舍去
当b=2时，三位数为：100a+20+c，∵100a+20+c是4的倍数，而100a+20是4的倍数，
∴c是4的倍数，∴c=4或8；
若c=4，轮换后为200+40+a是5的倍数，∴a=5；
验证：再次轮换后为452不是6的倍数，即c=4舍去；
若c=8，轮换后为200+80+a是5的倍数，∴a=5；
验证：再次轮换后为852是6的倍数，即这个三位数为：528
综上所述，这个三位数为：504、528．

点评 此题是数的整除性，主要考查了3的倍数，4的倍数，5的倍数的特点，解本题的关键是用5的倍数求出b的值．