Question

15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，且$\frac{AE}{EC}$=$\frac{CF}{FB}$=$\frac{1}{2}$．求证：∠CEF=∠FAB．

Answer 1

分析 过F作FG⊥AB，交AB于点G，则可证明△CEF∽△GAF，可证得结论．

解答 证明：
过F作FG⊥AB，交AB于点G，
∵AC=BC，且$\frac{AE}{EC}$=$\frac{CF}{FB}$=$\frac{1}{2}$，
∴不妨设CF=1，则BF=CE=2，CB=3，
∵∠C=90°，
∴∠B=45°，
∴FG=GB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF=$\sqrt{2}$，
又AB=$\sqrt{2}$BC=3$\sqrt{2}$，
∴AG=AB-BG=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{CE}{AG}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\frac{CF}{FG}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴$\frac{CE}{AG}$=$\frac{CF}{FG}$，且∠C=∠FGA，
∴△CEF∽△GAF，
∴∠CEF=∠FAB．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质，构造三角形相似是解题的关键．