Question

【题目】如图，已知中， ，点为斜边上一点，且，以为半径的与相切于，与交于点，连接．

（1）求线段的长；

（2）求与重叠部分的面积．（结果保留准确值）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；

【解析】

（1）连接OD，由切线的性质和直角三角形的性质得出OB＝2OD＝4，BD＝OD＝，得出AB＝OA＋OB＝6，AC＝AB＝3，BC＝AC＝，即可得出结果；
（2）连接OE，证出△OAE是等边三角形，得出∠AOE＝60°，∠EOG＝120°，作EF⊥OA于F，则OF＝1，EF＝OF＝，⊙O与Rt△ABC重叠部分的面积＝△AOE的面积＋扇形OEDG的面积，即可得出结果．

解：（1）连接OD，如图1所示：

∵以OA为半径的⊙O与BC相切于D，
∴∠ODB＝90°，
∵OD＝OA＝2，∠C＝90°，∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∴OB＝2OD＝4，BD＝OD＝，

∴AB＝OA＋OB＝6，
∴AC＝AB＝3，
∴BC＝AC＝，

∴CD＝BCBD＝；
（2）连接OE，如图2所示：

则OA＝OE，
∵∠CAB＝60°，
∴△OAE是等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
∴∠EOG＝120°，
作EF⊥OA于F，
则OF＝1，EF＝OF＝，
∴⊙O与Rt△ABC重叠部分的面积＝△AOE的面积＋扇形OEDG的面积＝．